Question

已知函数f（x），g（x）在R上有定义，对任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），且f（x）≠0，若f（1）=f（2），则g（-1）+g（1）=

1

．

Answer 1

分析：先利用赋值可判断函数f（x）为奇函数，然后领x=1，y=-1可求g（1）+g（-1）

解答：解：∵f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），
∴f（y-x）=g（y）f（x）-g（y）f（x）=-f（x-y），
∵f（0）=f（0）g（0）-g（0）f（0）=0，
∴f（x）为奇函数
对任意x，y∈R有f（x-y）=f（x）g（y）-g（x）f（y），
又f（1）=f（2）≠0
令x=1，y=-1可得f（2）=f（1）g（-1）-g（1）f（-1）=f（1）
∴f（1）=f（1）g（-1）+g（1）f（1）
∴g（-1）+g（1）=1
故答案为：1

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，解题的关键是判断函数的奇偶性．