题目内容

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，D₁D=2，点P在棱CC₁上，且 $数学公式$ ．
（1）求PC的长；
（2）求钝二面角A-A₁B-P的大小．

解：（1）如图，以点D为原点O，DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，2），
设P（0，1，λ），其中λ∈[0，2]，
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
即（-1，1，λ-2）•（-1，0，λ）=0，得λ=1，
此时P（0，1，1），即有PC=1；
（2）平面AA₁B的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
设平面A₁BP的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
不妨取x=1，则y=2，z=1，即 $\text{[math]}$ =（1，2，1），
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以，钝二面角A-A₁B-P的大小为π-arccos $\text{[math]}$ ．
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，由此可求PC的长；
（2）求出平面AA₁B的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，平面A₁BP的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（1，0，-1），利用向量的夹角公式，即可求得结论．
点评：本题主要考查空间向量的应用，考查向量的夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题．