Question

如果在区间[1，2]上函数f（x）=x²+px+q与g（x）=x+

1

x2

在同一点取相同的最小值，那么f（x）在该区间上的最大值是（　　）

• A．4+

  11

  2

  3	2

  +

  3	4

• B．4-

  5

  2

  3	2

  +

  3	4

• C．1-

  1

  2

  3	2

  +

  3	4

• D．以上答案都不对

Answer 1

分析：在区间[1，2]上函数g（x）=x+

1

x2

≥3

3	1 4

，当且仅当x=

3	2

时，取等号．故在区间[1，2]上函数f（x）=x²+px+q在x=

3	2

时对最小值3

3	1 4

，由此能求出x=2时，f（x）在该区间上的最大值．

解答：解：在区间[1，2]上函数g（x）=x+

1

x2

=

x

2

+

x

2

+

1

x2

≥3

3	x 2 • x 2 • 1 x2

=3

3	1 4

，
当且仅当

x

2

=

1

x2

，即x=

3	2

时，取等号．
∴在区间[1，2]上函数f（x）=x²+px+q在x=

3	2

时对最小值3

3	1 4

，
∴

- p 2 = 3 2 4q-p2 4 =3 3 1 4

，
解得p=-2

3	2

，q=3

3	1 4

+

3	4

．
∴x=2时，f（x）在该区间上的最大值=4-4

3	2

+3

3	1 4

+

3	4

=4-

5

2

3	2

+

3	4

．
故选B．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的合理运用．