题目内容
已知函数f（x）=a lnx+（a-1）x2+1 是减函数，则对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|的充要条件是分析：利用f（x）递减，将绝对值符号去掉，变形；通过构造函数，转化为新函数递减；等价于其导函数小于等于0恒成立，求出a的范围．
解答：解：（必要性）不妨设x1＞x2＞0
∵f（x）是减函数
∴f（x1）＜f（x2）
∴|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|即为f（x2）-f（x1）≥4x1-4x2
所以f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1
构造函数g（x）=f（x）+4x，可知g（x）单调递减
∵g（x）=alnx+（a-1）x2+4x+1
∴g′(x)=
+2(a-1)x+4=
≤0在（0，+∞）恒成立
即2（a-1）x2+4x+a≤0在（0，+∞）恒成立
对称轴为x=
当a=1时，不合题意
当
解得a≤-1
（充分性）当a＜-1时，易证得对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
综上知，对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|的充要条件是a≤-1
故答案为：a≤-1
∵f（x）是减函数
∴f（x1）＜f（x2）
∴|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|即为f（x2）-f（x1）≥4x1-4x2
所以f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1
构造函数g（x）=f（x）+4x，可知g（x）单调递减
∵g（x）=alnx+（a-1）x2+4x+1
∴g′(x)=
| a |
| x |
| 2(a-1)x2+4x+a |
| x |
即2（a-1）x2+4x+a≤0在（0，+∞）恒成立
对称轴为x=
| 1 |
| 1-a |
当a=1时，不合题意
当
|
（充分性）当a＜-1时，易证得对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
综上知，对于任意的x1，、x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|的充要条件是a≤-1
故答案为：a≤-1
点评：本题考查利用函数的单调性定义、考查通过构造新函数、将问题转化为新函数的单调性、考查利用导函数研究函数的单调性、考查解决二次不等式恒成立问题．
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