Question

函数y=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为

（0，

3

2

）

．

Answer 1

分析：由函数y=x³-2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．

解答：解：对于函数y=x³-2ax+a，求导可得y′=3x²-2a，
∵函数y=x³-3ax+a在（0，1）内有极小值，
∴y′=3x²-2a=0，则其有一根在（0，1）内，a＞0时，3x²-2a=0两根为±

2 3 a

，
若有一根在（0，1）内，则0＜

2 3 a

＜1，即0＜a＜

3

2

．
a=0时，3x²-3a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．
a＜0时，3x²-3a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，
综合可得，0＜a＜

3

2

，
故答案为 （0，

3

2

）．

点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．