Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）设PC=

2

BC．E为PB的中点，求二面角A-ED-B的大小．

Answer 1

分析：（I）欲证平面PAC⊥平面PBD，只需证面PAC内一直线垂直平面PBD即可，而BD⊥AC，又PD∩BD=D，则AC⊥面PBD，又AC?面PAC，满足面面垂直的判定定理所需条件；
（II）以D点为坐标原点，DP、DC、DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，先求出平面ADE的一个法向量

n

，由（Ⅰ）知

AC

是平面PBD的一个法向量，最后求出两法向量得夹角，从而求出二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PD⊥AC．
又∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
又∵PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，
又∵AC?面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．    …（6分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系D-xyz．
设BC=1，则PC=

2

，在Rt△PDC中，PD=1．
∴P（1，0，0）、A（0，0，1）、B（0，1，1）、C（0，1，0）、

PC

=(-1，1，0)、

DA

=(0，0，1)．
∵E为PB的中点，E(

1

2

，

1

2

，

1

2

)，∴

DE

=(

1

2

，

1

2

，

1

2

)．
设

n

=(x，y，z)是平面ADE的一个法向量．则由

n • DE =0 n • DA =0

 可求得．
由（Ⅰ）知

AC

是平面PBD的一个法向量，且

AC

=(0，1，-1)，
∴cos(

n

•

AC

)=

1

2

，即(

n

，

AC

) = 60°．∴二面角A-ED-B的大小为60． …（12分）

点评：本题主要考查了面面垂直的判断，同时考查了利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，属于中档题．