Question

已知抛物线y²=px(p＞0)和圆(x-2)²+y²=3相交,在x轴上方的交点为A、B,要使线段AB的中点M在直线y=x上,求p的值.

Answer 1

解：如图,设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由

得x²+(p-4)x+1=0,

令Δ=(p-4)²-4＞0,得0＜p＜2或p＞6.

设AB的中点M的坐标为(x′,y′),

则x′==,

∵y₁+y₂==,

∴y′==.故M的坐标为(,).

当M在直线y=x上时,有=,                                   ①

由0＜p＜2或p＞6,且M在第一象限,有＞0,即p＜4,故0＜p＜2.

解方程①得p=.