Question

已知函数f(x)=

ax+b

x-2

(a，b∈R)．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f（x）的反函数是它本身，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据求反函数的步骤，先用y表示出x，再交换两者的位置即可得到f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），由于两个函数是同一个函数，故可由同一性得到参数a的方程，解出a．

解答：解：（1）由y=

ax+b

x-2

，则y≠a，∴x=

2y+b

y-a

，
∴反函数f^-1（x）=

2x+b

x-a

（x≠a）．
（2）由f（x）=f^-1（x），有

2x+b

x-a

=

ax+b

x-2

，
使上式对x≠2且x≠a都成立，则a=2．

点评：本题考查求反函数，解题的关键是理解反函数的定义，根据定义求出反函数，（2）中利用函数相同，根据同一性求出参数的方程求参，这是同一性的一种重要运用，题后要总结一下．