Question

（2013•临沂一模）某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（I）从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一人及格的概率；
（Ⅱ）从甲班l0人中取两人，乙班l0人中取一人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，设事件“从每班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”为A．可先求出其对立事件

.

A

的概率，再利用P（A）=1-P(

.

A

)即可得出；
（II）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3．由题意可知：从甲班10人中任选的2人和从乙班10人中任选1人共有

C

2 10

C

1 10

种选法．①X=0表示从甲班选的2人和从乙班所选的1人都不及格，有

C

2 6

C

1 5

种选法；②X=1表示从甲班选的2人和从乙班所选的1人3人中只有1人及格，故有

C

1 4

C

1 6

•

C

1 5

+

C

2 6

C

1 5

种选法；③X=2表示从甲班选的2人和从乙班所选的1人3人中只有2人及格，故有

C

2 4

C

1 5

+

C

1 4

C

1 6

•

C

1 5

种选法；④X=3表示从甲班选的2人和从乙班所选的1人3人都及格，故有

C

2 4

•

C

1 5

种选法．再利用古典概型的概率计算公式、互为对立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望的计算公式即可得出．

解答：解：（I）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
设事件“从每班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”为A．
则P(

.

A

)=

C 1 6 • C 1 5

C 1 10 • C 1 10

=

3

10

，
∴P（A）=1-P(

.

A

)=1-

3

10

=

7

10

．
（II）由题意可得X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=

C 2 6 C 1 5

C 2 10 C 1 10

=

1

6

；P（X=1）=

C 1 4 C 1 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

+

C 2 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

13

30

；
P（x=2）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

+

C 1 4 C 1 6

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

1

3

；
P（X=3）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 5

C 1 10

=

1

15

．
所以X的分布列为
因此E（X）=0×

1

6

+1×

13

30

+2×

1

3

+3×

1

15

=

′13

10

．

点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式、互为对立事件的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望的计算公式是解题的关键．