Question

已知函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=

1

x

(2x2-4ax)+lnx(4x-4a)+2x
=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
①若0＜a＜

1

e

，当x∈（0，a），x∈（

1

e

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a，

1

e

）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（

1

e

，+∞）；单调递减区间是（a，

1

e

）．
②若a=

1

e

，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③若a＞

1

e

，当x∈（0，

1

e

），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（

1

e

，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以f（x）的单调递增区间是（0，

1

e

），（a，+∞）；单调递减区间是（

1

e

，a）．
（2）因为x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得
（2x²-4ax）lnx+x²＞0，即函数f（x）＞0对x≥1恒成立，
由（Ⅰ）可知，当0＜a≤

1

e

时，f（x）在，[1，+∞）上单调递增，则f（x）_min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤

1

e

．
当

1

e

＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜

e

．
综上所述，0＜a＜

e

．