题目内容
（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，
在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线
相交于M1，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在
或
，使得以
为直径的圆恒过点
【解析】
试题分析：（1）因为离心率为
，
在椭圆上.所以利用待定系数法求出长半轴的长
和短半轴的长
.从而写出椭圆的标准方程.本小题要求解方程组能力较强.虽然本小题属于较基础的题目，但是运算也是这道题难点，否则会影响到下一题的得分.
（2）通过假设
的坐标，写出直线
.并求出它们与准线方程的交点坐标.如果存在则点是在以线段
为直径的圆上，所以通过向量的垂直可得一个关于
的等式.又因为
符合椭圆的方程.所以可以求出结论.
试题解析：（1）由
得：
，
， 1分
从而有：
又
在椭圆
上，故有
，解得
所以，椭圆的方程为：.
4分
（2）设
，由（1）知：
.
则直线
的方程为：
，由
得
所以
；
同理得：
. 6分
假设存在点
，使得以为直径的圆恒过点
，即：
.
又
在椭圆上，∴
∴
. 10分
代入上式得
，解得
或7.
所以，存在或，使得以为直径的圆恒过点. 12分
考点：1.待定系数求椭圆的方程.2.向量的数量积.3.知识的转化化归思想.
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，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
