题目内容
A、B、C为锐角三角形三内角，求证：tanAtanBtanC≥3| 3 |
分析：首先已知因为A、B、C为锐角三角形三内角，故可以想到三个角和为180度，即其中两个角可以被另外2个表示出来，A+B=π-C．然后两边取正切，化简求解既可．
解答：解：因为A、B、C为锐角三角形三内角，故A+B=π-C，
所以有tan（A+B）=tan（π-C） 即：
=
整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=（tanAtanBtanC）3=（tanA+tanB+tanC）3≥27tanAtanBtanC
即：（tanAtanBtanC）2≥27 tanAtanBtanC≥3
故得证．
所以有tan（A+B）=tan（π-C） 即：
| (tanA+tanB) |
| (1-tanAtanB) |
| (tanπ-tanC) |
| (1+tanπtanC) |
整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC=（tanAtanBtanC）3=（tanA+tanB+tanC）3≥27tanAtanBtanC
即：（tanAtanBtanC）2≥27 tanAtanBtanC≥3
| 3 |
故得证．
点评：此题主要考查三角函数恒等式的证明问题，其中涉及到正切函数和角公式的变换问题，有一定的计算量，属于中档题目．
练习册系列答案
相关题目
在[－1, 0]上单调递减, 又
为锐角三角的两内角, 则有( )
B．
D．
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B．
D．