题目内容
设函数
，其对应的图像为曲线C；若曲线C过
，且在点处的切斜线率
（1）求函数
的解析式
（2）证明不等式
.
（1）
；（2）详见解析.
解析试题分析：（1）由题设可得两个方程：
①，
②.解这个方程组，求得
的值，便得函数的解析式.（2）要证明不等式只需证
（
）的最大值小于等于0即可，而利用导数很易求得
的最大值，从而使问题得证.
试题解析：（1）由得
∵曲线C过 ∴ ① 2分
又∵曲线C在点处的切斜线率
∴ ② 4分
联立①②解之得
5分
∴函数的解析式为 6分
（2）由（1）知
其定义域为
令
（），则 8分
令
（），解之得
10分
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减， 12分
而
,所以的最大值为0，故当
时，
即
. 13分
考点：导数的应用.
练习册系列答案
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，
．
时，函数
取得极值，求
的值；
时，求函数
时，关于
的方程
有唯一实数解，求实数
的值．
在
及
时取得极值．
，都有
成立，求c的取值范围．
，
（
）
存在极值点，求实数
的取值范围；
的单调区间；
且
时，令
，
(
)，
(
)为曲线
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由．
.
在定义域内为增函数，求实数
的取值范围；
，若函数
存在两个零点
，且实数
满足
，问：函数
处的切线能否平行于
轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由.
（
为自然对数的底数）.
的单调区间；
时，若
对任意的
恒成立，求实数
的值；
.
在
处的切线与直线
平行，求
上的最小值.
．
（
均为正常数），设函数
在
处有极值.
，不等式
总成立，求实数
的取值范围；
上单调递增，求实数
的取值范围.