Question

使log(a2-3)

1

2

＞log(a2-3)

1

3

成立的a的取值范围是（　　）

• A．（-2，2）
• B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
• C．(-2，-

  3

  )∪(

  3

  ，2)
• D．(-∞，-

  3

  )∪(

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：当a²-3＞1时，由对数函数的单调性和特殊点求得不等式的解集；当 1＞a²-3＞0时，同理求得不等式的解集，最后将这两个解集取并集，即为所求．

解答：解：当a²-3＞1时，由于y=

log

x a2-3

 是定义域内的增函数，

1

2

＞

1

3

，∴log(a2-3)

1

2

＞log(a2-3)

1

3

 恒成立，
故不等式的解集为{a|a²-3＞1}={a|a＞2 或a＜-2}．
当 1＞a²-3＞0时，由于y=

log

x a2-3

是定义域内的减函数，

1

2

＞

1

3

，∴log(a2-3)

1

2

＜log(a2-3)

1

3

，故不等式不可能成立，
此时，不等式的解集为∅．
综上，不等式的解集为 {a|a＞2 或a＜-2}，即 （-∞，-2）∪（2，+∞）．
故选：B．

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．