Question

将2006表示成5个正整数之和. 记. 问：

（1）     当取何值时，S取到最大值；

（2）     进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值. 说明理由.

 

 

Answer 1

解析： （1） 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若, 且使 取到最大值，则必有

                 (*)

事实上，假设（*）不成立，不妨假设。则令，,()

有，。将S改写成

同时有 。于是有。这与S在时取到最大值矛盾。所以必有 . 因此当取到最大值。        

（2）当且时，只有

（I）                    402， 402， 402， 400， 400；

（II）                  402， 402， 401， 401， 400；

（III）                402， 401， 401， 401， 401；

 三种情形满足要求。        

而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的。根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式 变大。 所以在情形取到最小值。