Question

已知函数f（x）=|x-a|+a，若不等式f（x）≤4的解集为{x|2≤x≤4}．
（1）求a的值；
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由|x-a|+a≤4可得|x-a|≤4-a，∴a-4≤x-a≤4-a，∴2a-4≤x≤4，故不等式f（x）≤4的解集为{x|2a-4≤x≤4}．
再由不等式f（x）≤4的解集为{x|2≤x≤4}可得 2a-4=2，
∴a=3．
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，则函数y=f（x）=|x-2|+2的图象 与直线y=mx 的图象有交点，
∴m≥1，或 m≤-1，
故m的取值范围是 {m|m≥1，或 m≤-1 }．
分析：（1）由不等式|x-a|+a≤4求得它的解集为{x|2a-4≤x≤4}，又已知它的解集为{x|2≤x≤4}，可得 2a-4=2，从而求得a的值．
（2）若不等式f（x）≤mx的解集非空，则函数y=f（x）=|x-2|+2的图象与直线y=mx 的图象有交点，数形结合求得m的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数图象交点问题，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．