Question

在(x-

2

3 x

)10的展开式中，
（1）写出展开式含x²的项；
（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值．

Answer 1

分析：（1）展开式的通项  T_k+1 =(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k的值，从而得到含x²的项．
（2）由 C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，可得3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，求出整数 r 的值．

解答：解：（1）展开式的通项  T_k+1 =C₁₀^Kx^10-k(-

2

3 x

)k=(-1)k2k

C

k 10

x10-

4

3

k，令10-

4

3

k=2，可得 k=6．
∴含x²的项是(-1)626

C

6 10

x10-

4

3

•6=2⁶C₁₀⁶x² =13440x²．
（2）∵C₁₀^3r-1=C₁₀^r+1，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10，∴r=1 或r=

5

2

．
∴r=1．

点评：本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求出二项展开式的通项公式是解题的关键．