Question

在以O为坐标原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点．已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于零．

(1)求向量的坐标；

(2)求圆x²－6y＋y²＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程；

(3)设直线l以为方向向量且过(0，a)点，问是否存在实数a，使得椭圆上有两个不同的点关于直线l对称．若不存在，请说明理由；存在请求出实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设，则由，可得

　　解得或．又，且

　　故，　3分

　　(2)由可知直线OB的方程为

　　可知圆心为，半径为．

　　设圆心关于直线OB的对称点坐标为，由

　　解得，故所求圆的方程为　6分

　　(3)假设椭圆上存在两点关于直线对称，设其中点坐标为由已知直线的方程为，可设直线AB的方程为将其与已知椭圆方程联立得．

　　由韦达定理知，．

　　中点在圆的内部可知

　　解得．

　　又在直线上，故，解得代入

　　解得

　　即存在满足题意的实数其取值范围为　12分