题目内容
已知函数f（x）=-x3+ax2-4，（a∈R）（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点p（1，f（1））处的切线的倾斜角为
| π | 4 |
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
分析：（1）函数在某点的导数值等于函数图象在该点的切线的斜率．
（2）利用导数在某个区间上的符号，确定函数单调性，进而确定函数最值．
（2）利用导数在某个区间上的符号，确定函数单调性，进而确定函数最值．
解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=-3x2+2ax
由已知f′(x)=tan
=1即-3+2a=1
∴a=2（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x3+2x2-4
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
)
当x∈[-1，1]时，如下表：
可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11
由已知f′(x)=tan
| π |
| 4 |
∴a=2（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x3+2x2-4
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
| 4 |
| 3 |
当x∈[-1，1]时，如下表：
可见，n∈[-1，1]时，f′（x）最小值为f′（-1）=-7
m∈[-1，1]时，f（m）最小值为f（0）=-4
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11
点评：本题考查导数意义，及用导数求函数极值的方法．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|