Question

（12分）已知圆的方程为,椭圆的方程，且离心率为，如果与相交于两点，且线段恰为圆的直径.

（Ⅰ）求直线的方程和椭圆的方程；

（Ⅱ）如果椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上是否存在点,使得,如果存在，请求点的坐标，如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），；

（Ⅱ）存在P点坐标为，

【解析】(Ⅰ) 解法一：若直线斜率不存在，则直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线斜率存在，…………1分

所以可设AB直线方程为，且设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),      设椭圆方程,…………………2分

将AB直线方程为代入到椭圆方程得，即（1），………………………………4分

，解得，故直线AB的方程为,…………6分

将代入方程（1）得5x²－40x+100－4b²=0. ，

，得.                   …………………………………7分=，得，解得b²=9..

故所求椭圆方程为.     ………………………………………………8分

解法二：   设椭圆方程,…………1分

又设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则,

又,两式相减，得，……3分

即(x₁+x₂)(x₁－x₂)+4(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，.

若，直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，所以.

因此直线斜率存在,且 =－1,故直线AB的方程为,  ……5分

代入椭圆方程，得5x²－40x+100－4b²=0 .   ………………………………6分

 ，，得.……………………7分

|AB|=, 

得，解得b²=9.故所求椭圆方程为.  ……8分

(Ⅱ)因为的中点是原点,

所以,所以与共线， …………………10分，

而直线AB的方程为y=－x+5,所以直线所在的直线方程为y=－x. 

，或.

所以P点坐标为，.     …………………12分