Question

已知点（x，y）是不等式组

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则

a+b+c

a

的值为（　　）

• A．2
• B．

  1

  2

• C．-2
• D．-1

Answer 1

分析：根据题意，作出不等式组

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的三角形区域如图，再将直线l：z=2x+y进行平移，可得使z取得最小值1的点A坐标为（1，-1），取得最大值7的点B坐标为（3，1），最后将A、B坐标代入第三个不等式对应的直线方程，可得b=-a，c=-2a，从而求出

a+b+c

a

的值．

解答：解：∵目标函数z=2x+y在不等式组

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面区域内既有最大值，也有最小值
∴不等式组

x≥1 x+y≤4 ax+by+c≥0

表示的平面区域是一个三角形区域（含边界）
作出可行域如右图，将直线l：z=2x+y，即y=-2x+z进行平移，可得
当l经过直线x=1和ax+by+c=0的交点A（1，y₀）时，z取得最小值1；
当l经过直线x+y=4和ax+by+c=0的交点B（x₁，y₁）时，z取得最大值7．
∴1×2+y₀=1，解之得y₀=-1且

x1+y1=4 2x1+y1=7

，解之得

x1=3 y1=1

因此，A的坐标为（1，-1），B的坐标为（3，1），代入不等式第三式对应直线，
可得

a-b+c=0 3a+b+c=0

，所以b=-a，c=-2a，可得

a+b+c

a

=

a+(-a)+(-2a)

a

=-2
故选C

点评：本题给出一个待定的平面区域，在已知目标函数的最值时求字母参数的比值，着重考查了简单线性规划的应用的知识，属于中档题．