Question

【题目】已知函数，．

当时，，求实数a的取值范围；

当时，曲线和曲线是否存在公共切线？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在公共切线，理由详见解析.

【解析】

(1)构造函数，求出其最大值，解不等式即可得到实数的取值范围；

(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别相切与点.分别求出两条切线方程，根据斜率与纵截距建立方程组，减元后得到，构造新函数研究单调性与极值即可.

解：令，则.

若，则，若，则.

所以在上是增函数，在上是减函数.

所以是的极大值点，也是的最大值点，即.

若恒成立，则只需，解得.

所以实数的取值范围是.

假设存在这样的直线且与曲线和曲线分别相切与点.

由，得.

曲线在点处的切线方程为，即.

同理可得，

曲线在点处的切线方程为，即.

所以则，即

构造函数

存在直线与曲线和曲线相切,

等价于函数在上有零点

对于.

当时，，在上单调递增.

当时，因为，所以在上是减函数.

又，，所以存在，使得，即.

且当，时，当时，.

综上，在上是增函数，在上是减函数.

所以是的极大值，也是最大值，且.

又，，所以在内和内各有一个零点.

故假设成立，即曲线和曲线存在公共切线.