Question

f（x）=sinx（1+sinx）+cos²x
（1）求f（x）在[-

π

6

 ， 

2π

3

]上值域
（2）在△ABC中，cosA=

7

25

 ， cosB=

3

5

，求f（C）．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）=1+sinx，当x∈[-

π

6

 ， 

2π

3

]时，-

1

2

≤sinx≤1，可得 1+sinx的范围，从而得到函数f（x）在[-

π

6

 ， 

2π

3

]上值域．
（2）在△ABC中，由条件求得sinA=

24

25

，sinB=

4

5

，再根据f（C）=1+sinC=1+sin（A+B）=1+sinAcosB+cosAsinB，运算求得结果．

解答：解：（1）由于f（x）=sinx（1+sinx）+cos²x=1+sinx，
当x∈[-

π

6

 ， 

2π

3

]时，-

1

2

≤sinx≤1，
故

1

2

≤1+sinx≤2，
故函数f（x）在[-

π

6

 ， 

2π

3

]上值域为[

1

2

，2]．
（2）在△ABC中，由cosA=

7

25

 ， cosB=

3

5

，可得sinA=

24

25

，sinB=

4

5

，
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

24

25

×

3

5

+

7

25

×

4

5

=

4

5

．
故f（C）=1+sinC=1+

4

5

=

9

5

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域求值域，属于中档题．