Question

【题目】如图，三棱柱中，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．

（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．

（1）过点作，垂足为，

因为平面平面，

所以平面，故，

又因为，，，

所以，故，

因为，所以，

又因为，所以平面，故.

（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

因为平面，

所以是直线与平面所成角，

故，

所以，，

，，，，，，

设平面的法向量为，则

，所以，

令，得，

因为平面，

所以为平面的一条法向量，

，

，

所以二面角的余弦值为.