Question

已知函数y=x²+(2m+1)x+m²-1(m∈R).

(1)m为何值时,y的极小值是0？

(2)求证：不论m是什么数值,函数的图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线l₁上.

(3)平行于l₁的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交？求证：任一条平行于l₁而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

Answer 1

(1)解:用配方法得,

∴y的极小值为.

由,得,即当时,y的极小值是0.

(2)证明:函数图象抛物线的顶点坐标为,

即(x、y为顶点的两坐标).

两式相减得,此即各抛物线顶点坐标所满足的方程,它的图形是一条直线.方程中不含m,因此,不论m是什么数值,抛物线的顶点都在这条直线上.

(3)证明:设l:x-y=a为任一条平行于l₁的直线,

由

消去y,得x²+2mx+m²-1+a=0,

即(x+m)²=1-a.

当1-a≥0,即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a＜0,即a＞1时,直线l与抛物线不相交.

若a≤1,则,

即,.

∴.

直线l被抛物线截得的线段AB的长为

与m无关.

因而直线l被各抛物线截得的线段都相等.