Question

已知关于x的不等式（2x-1）²＜a²x²（a≥0）
（1）求此不等式的解集；
（2）若不等式的解集中整数恰好有3个，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把已知不等式右边移项后，利用平方差公式分解因式，由a大于等于0，分四种情况：a=0，0＜a＜2，a=2，a＞2时分别求出相应的解集即可；
（2）由（1）得a=0时解集为空集，a大于等于2不可能恰有三个整数解，所以只考虑0＜a＜2时的情况，先根据a的范围判断出0＜

1

2+a

＜1，所以解集中最小的整数解为1，则

1

2-a

应该大于3小于等于4，列出不等式即可求出a的范围．

解答：解：（1）由（2x-1）²＜a²x²得
（2x-1）²-a²x²＜0
[（2-a）x-1][（2+a）x-1]＜0
①a=0时不等式无解，解集为空集；
②0＜a＜2时不等式的解集为{x|

1

2+a

＜x＜

1

2-a

}；
③a=2时不等式的解集为{x|x＞

1

4

}；
④a＞2时不等式的解集为{x|x＜

1

2-a

或x＞

1

2+a

}．
（2）0＜a＜2时0＜

1

2+a

＜

1

2

＜1
不等式解集{x|

1

2+a

＜x＜

1

2-a

}中恰好有三个整数
所以3＜

1

2-a

≤4得

5

3

＜a≤

7

4

，
a≥2时不等式的解集中不可能恰有三个整数．
所以正实数a的取值范围是

5

3

＜a≤

7

4

．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．