Question

函数y=f（x-1）为奇函数，y=f（x+1）为偶函数（定义域均为R）若0≤x＜1时：f（x）=2^x，则f（10）=

1

．

Answer 1

分析：先由周期函数的定义证明函数f（x）为周期为8的函数，所以f（10）=f（2），再由函数的对称性，即函数关于x=1对称，可得f（2）=f（0），最后代入已知解析式即可

解答：解：∵数y=f（x-1）为奇函数
∴f（-x-1）=-f（x-1）即 f（-x）=-f（x-2）
∵y=f（x+1）为偶函数
∴f（-x+1）=f（x+1），即f（x+2）=f（-x）
∴f（x+2）=-f（x-2）
即f（x+8）=f（x）
∴f（10）=f（2）=f（0）=2⁰=1
故答案为 1

点评：本题考察了抽象函数表达式的意义，函数的奇偶性，周期性，对称性间的关系，解题时要透彻理解复合函数奇偶性与对称性的内在联系，并能熟练的由抽象表达式推证函数的周期性