Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°又AB=BC=PC=1，PB=

2

，CD=2，AB⊥PC．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由BC²+PC²=PB²，得PC⊥BC，再由AB⊥PC，得PC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）先找或作出角，再求解，由（Ⅰ）知PC⊥平面ABCD，则∠PAC为PA与平面ABCD所成的角．
（Ⅲ）在图中不存在，同作出角来，∠CMB为二面角B-PD-C的平面角，求解时放在△CMB中．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，BC=PC=1，PB=

2

，
∴BC²+PC²=PB²，
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC，
∵AB⊥PC，AB∩BC=B，
∴PC⊥平面ABCD．

（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知PC⊥平面ABCD
∴AC为PA在平面ABCD内的射影，
∴∠PAC为PA与平面ABCD所成的角．
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴AC=

AB2+BC2

=

2

，
在△PAC中，∠PCA=900，PC=1，AC=

2

，
∴tan∠PAC=

PC

AC

2

2

，
∴PA与平面ABCD所成角的大小为arctan

2

2

．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知PC⊥BC，
又BC⊥CD，PC∩CD=C，
∴BC⊥平面PCD．
如图，过C作CM⊥D于M，连接BM，
∴CM是BM在平面PCD内的射影，
∴BM⊥PD，
∴∠CMB为二面角B-PD-C的平面角．
在△PCD中，∠PCD=90°，PC=1，CD=2，
∴PD=

PC2+CD2

 =

5

，
又CM⊥PD，∴PD•CM=PC•CD，
CM=

PC•CD

PD

=

2 5

5

，
在△CMB中，∠BCM=90°，BC=1，CM=

2 5

5

，
∴tan∠CMB=

5

2

，
∴二面角B-PD-C的大小为arctan

5

2

．

点评：本题主要考查线线垂直、线面垂直与面面垂直的转化，如何求线面角和二面角问题，一般的思路是“一找、二作、三求”．