Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R．若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，则b的取值范围是

b≥4或b≤-2

．

Answer 1

分析：首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．F（x）=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数  F（x）必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于-

b

2

解答：解：由于f（x）=x²+bx+2，x∈R．则当x=-

b

2

时，f（x）_min=2-

b2

4

，
又由函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，
则函数  F（x）必须要能够取到最小值，即2-

b2

4

＜-

b

2

，
得到b≥4或b≤-2
b的取值范围为b≥4或b≤-2．
故答案为b≥4或b≤-2

点评：本题考查函数值域的简单应用，属于基础题．