Question

若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同时大于1．

Answer 1

分析：假设（2-a）b，（2-b）c（2-c）a同时大于1，推出

(2-a)b

+

(2-b)c

+

(2-c)a

＞3 ①；再由已知条件可推出
 

(2-a)b

+

(2-b)c

+

(2-c)a

≤3，这与①矛盾，故假设不成立．

解答：证明：假设（2-a）b，（2-b）c（2-c）a同时大于1．即（2-a）b＞1，（2-b）c＞1（2-c）a＞1，
则

(2-a)b

＞1，

(2-b)c

＞1，

(2-c)a

＞1，
所以

(2-a)b

+

(2-b)c

+

(2-c)a

＞3 ①．
再由 0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，
可得

(2-a)b

≤

(2-a)+b

2

，

(2-b)c

≤

(2-b)+c

2

，

(2-c)a

≤

(2-c)+a

2

，
故

(2-a)b

+

(2-b)c

+

(2-c)a

≤3，这与①矛盾，
所以假设不成立，即原命题成立．

点评：本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键．