Question

（2012•武昌区模拟）已知函数f（x）=2ln（2x）+x²．
（I）若函数g（x）=f（x）+ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（II）设h（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若h（x）存在两个零点m，n且2x₀=m+n，证明：函数h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线不可能平行于x轴．

Answer 1

分析：（I）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成g′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据分式函数的图象与性质可求出实数a的取值范围；
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线可能平行于x轴，再利用导数研究函数γ(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1在（1，+∞）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．

解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=ln（2x）+x²+ax，g′(x)=

2

2x

+2x+a=2x+

1

x

+a(x＞0)．
由已知，得g'（x）≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∴2x+

1

x

+a≥0，即a≥-(2x+

1

x

)对一切x∈（0，+∞）恒成立．
∵-(2x+

1

x

)≤-2

2

，∴a≥-2

2

．
∴a的取值范围为[-2

2

，+∞)．  …（5分）
（Ⅱ）h（x）=2[ln（2x）+x²]-3x²-kx=2ln（2x）-x²-kx．
由已知得h（m）=2ln（2m）-m²-km=0，h（n）=2ln（2n）-n²-kn=0．
∴2ln

n

m

=(n2+kn)-(m2+km)，即2ln

n

m

=(n+m)(n-m)+k(n-m)．
假设结论不成立，即h'（x₀）=0，则

2

x0

-2x0-k=0，
∴k=

2

x0

-2x0．
又2x₀=m+n，
∴2ln

n

m

=(n+m)(n-m)+(

2

x0

-2x0)(n-m)=(n+m)(n-m)+(

4

m+n

-m-n)(n-m)=(n-m)

4

n+m

．
∴ln

n

m

=

2(n-m)

n+m

．
令

n

m

=t∈(1，+∞)，则有lnt=

2(t-1)

1+t

．
令γ(t)=lnt-

2(t-1)

1+t

，t＞1．
∴γ′(t)=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)•(+1)

(1+t)2

=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1+t2-4t)

t(1+t)2

=

(t-1)2

t(1+t)2

＞0．
∴γ（t）在（1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，γ（t）＞γ（1）=0，即lnt-

2(t-1)

1+t

＞0．
∴当t＞1时，lnt=

2(t-1)

1+t

不可能成立，
∴假设不成立．
∴h（x）在（x₀，h（x₀））处的切线不平行于x轴．  …（14分）

点评：此题是个难题．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．