Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=

π

2

，AB∥CD，PC⊥面ABCD，PC=AD=DC=

1

2

AB，E为线段AB的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PDE；
（2）求二面角A-PE-D的大小．

Answer 1

分析：（1）在面PDE内找一条线DE，通过证明DE⊥AC，DE⊥PC，从而证明DE和面PAC垂直，即可证得面PDE⊥面PAC．
（2）用三垂线定理作二面角的平面角∠AEF，在△PAO中有面积相等不难算出AF=

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a，而AE=a，解Rt△AFE可得∠AEF的大小．

解答：（1）证明：在直角梯形ABCD中，容易知道四边形AECD是正方形，
∴DE⊥AC，
又PC⊥面ABCD，
∴DE⊥PC∴DE⊥面PAC，
∴面PDE⊥面PAC；

（2）解：记PC=a，用三垂线定理作二面角的平面角．
记AC、DE交于O，连PO，PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交线，
过A作PO的垂线交PO（的延长线）于F，
则AF⊥面PDE，即F是A在面PDE内的射影，
又容易证明AE⊥面PEC，则AE⊥PE，于是FE⊥PE，
∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角；
在△PAO中有面积相等不难算出AF=

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a，
而AE=a，在Rt△AFE中，∠AEF=arcsin

3

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．

点评：用三垂线定理作二面角的平面角，是作二面角的平面角的最常用、最重要的方法．其过程概括为：找一垂找（作）一个面内一点P在另一个面内的射影P^/，作二垂过P（或P^/）作二面角棱l的垂线，垂足为Q，连三垂连P^/Q，则l⊥P^/Q，于是∠PQP^/为二面角的平面角；计算该角在直角三角形内进行；在上述过程中，“找一垂”是关键．