Question

设数列{a_n}是等比数列，a1=

C

3m 2m+3

?

A

1 m-2

，公比q是(x+

1

4x2

)4的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若An=

C

1 n

S1+

C

2 n

S2+…+

C

n n

Sn，用n，x表示A_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

，由排列数与组合数的意义可得到关于m的不等式组，从而可求得m；
（2）利用二项展开式的通项公式可求得q=x，从而可得数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n（需对x分x=1与x≠1分类讨论）；
（3）当x=1时，S_n=n，A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，利用倒序相加法与

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

=2ⁿ即可求得A_n；
当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，A_n=

1

1-x

[（1-x）

C

1 n

+（1-x²）

C

2 n

+（1-x³）

C

3 n

+…+（1-xⁿ）

C

n n

]，利用分组求和的方法即可求得A_n．

解答：解：（1）∵a₁=

C

3m 2m+3

•

A

1 m-2

，
∴

2m+3≥3m m-2≥1

?

m≤3 m≥3

∴m=3．…（2分）
∴a₁=

C

9 9

•

A

1 1

=1…（3分）．
（2）由(x+

1

4x2

)4知q=T₂=

C

1 4

x³•

1

4

•x^-2=x．（5分）
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n(x=1) 1-xn 1-x (x≠1)

．…（6分）
（3）当x=1时，S_n=n．A_n=

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

…①
而A_n=n

C

n n

+（n-1）

C

n-1 n

+（n-2）

C

n-2 n

+（n-3）

C

n-3 n

+…+2

C

2 n

+

C

1 n

…②
又∵

C

0 n

=

C

n n

，

C

1 n

=

C

n-1 n

，

C

2 n

=

C

n-2 n

，…
①②相加得2A_n=n（

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1…．（9分）
当x≠1时，S_n=

1-xn

1-x

，
A_n=

1

1-x

[（1-x）

C

1 n

+（1-x²）

C

2 n

+（1-x³）

C

3 n

+…+（1-xⁿ）

C

n n

]
=

1

1-x

[（

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

）-

C

0 n

-（x

C

1 n

+x²

C

2 n

+…+xⁿ

C

n n

）]
=

1

1-x

[（2ⁿ-1）-（（1+x）ⁿ-1）]
=

1

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]…．（11分）
∴An=

n•2n-1(x=1) 2n-(1+x)n 1-x (x≠1)

…．（12分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查数列的求和，着重考查倒序相加法与分组求和法，考查分逻辑思维与运算能力，属于难题．