Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+c，（其中c＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当f（x）为偶函数时，若函数g(x)=

f(x)

x

，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

Answer 1

（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）²+ax+c=x²-ax+c，
即2ax=0恒成立                         …（3分）
∴a=0                                                                           …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴g(x)=

f(x)

x

=

x2+c

x

=x+

c

x

，x∈（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，

c

）上单调递减，在x∈（

c

，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）
设任意x₁，x₂∈（0，

c

），且x₁＜x₂，
g（x₁）-g（x₂）=（x₁+

c

x1

）-（x₂+

c

x2

）=（x₁-x₂）+（

c

x1

-

c

x2

）=（x₁-x₂）(

x1•x2-c

x1•x2

)         …（7分）
∵x₁，x₂∈（0，

c

），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＜c
即x₁•x₂-c＜0
∴（x₁-x₂）(

x1•x2-c

x1•x2

)＞0，
即g（x₁）-g（x₂）＞0
即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（0，

c

）上单调递减                                                       …（9分）
同理，可得g（x）在（

c

，+∞）上单调递增                                             …（10分）