Question

已知数列{a_n}中，a1=1，a2=-2，an+2=-

1

an

，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₀=

-754

．

Answer 1

分析：列出数列的前几项，发现数列{a_n}是周期为4的周期数列．因此只要将S₂₀₁₀表示成前4项和的502倍，再加上a₁+a₂的值，即可得到它的值．

解答：解：∵an+2=-

1

an

，
∴a3=-

1

a1

=-1，a4=-

1

a2

=

1

2

，a5=-

1

a3

=1=a₁，a6=-

1

a4

=-2=a₂，…
由此发现，数列{a_n}满足an+4=-

1

an+2

=an，是周期为4的周期数列．
∴S₂₀₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₀₅+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈）+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀
=502（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₁+a₂）=502（1-2-1+

1

2

）+（1-2）=-754
故答案为：-754

点评：本题给出数列的前2项和递推公式，叫我们求它的2010项的和，考查了进行简单的合情推理和数列求和等知识，属于基础题．