Question

（备用题）如图，已知椭圆到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（I）求此椭圆的方程及离心率；
（II）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由椭圆上的点M到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，可得a的值，再将M（1，）代入，即可确定椭圆方程及离心率；
（II）设l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定|PQ|的表达式，从而可求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．
解答：解：（I）由题意，∵椭圆上的点M到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程为
将M（1，）代入得，∴b²=3，∴c²=1
∴椭圆方程为：，；
（II）∵，∴设l的方程为：
由，∴
∴△=12（6-m²）＞0，∴0≤m²＜6
设，则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|PQ|=•==
∵0≤m²＜6，∴m²=0，即m=0时，|PQ|max=，此时l的方程为
点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．