Question

三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.

Answer 1

解:三个数适当排列,不同的排列方法有6种,但这里不必分成6种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项,则只有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解好问题的关键.

    由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,∴a=2.

    这三个数可表示为2-d,2,2+d,

(1)若2-d为等比中项,则有(2-d)²=2(2+d).

    解之,得d=6或d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8.

(2)若2+d是等比中项,则有(2+d)²=2(2-d).

    解之,得d=-6,或d=0(舍去).此时三个数为8,2,-4.

(3)若2为等比中项,则2²=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).

    综上可求得此三数为-4,2,8.