Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2Sn=3an-2n，(n∈N*)．
（I） 求证：数列{1+a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设bn=

an

an+1+1

，试比较数列{b_n}的前n项和Tn与

2n-1

6

的大小关系．

Answer 1

分析：（I）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n=3a_n-1+2，进而可化为，a_n+1=3（a_n-1+1），数列{1+a_n}是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用（I）可得：bn=

an

an+1+1

=

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

，再利用等比数列的前n项和公式即可得出T_n，即可证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3a_n-2n-3a_n-1+2（n-1）
即n≥2时，a_n=3a_n-1+2
从而有n≥2时，a_n+1=3（a_n-1+1），
又2a₁=2S₁=3a₁-2得a₁=2，故a₁+1=3，
∴数列{1+a_n}是等比数列，an+1=3n，即an=3n-1．
（Ⅱ）bn=

an

an+1+1

=

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

，
则Tn=

n

3

-(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

)=

n

3

-

1

32

•

1- 1 3n

1- 1 3

=

n

3

-

1

6

(1-

1

3n

)＞

2n-1

6

即Tn＞

2n-1

6

．

点评：本题考查了“当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1”、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本方法，属于难题．