题目内容
已知函数f(x)=x2-(-1)K·2lnx(k∈N*).（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）k是偶数时，正项数列{an}满足a1=1,f′(an)=
，求{an}的通项公式；
（3）k是奇数，x＞0，n∈N*时，求证：［f′(x)］n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2).
解:（1）函数f(x)的定义域是(0,+∞)，k是奇数时,f(x)=x2+2lnx,f′(x)=2x+,x∈(0,+∞)时,f′(x)＞0.?
∴k是奇数时，f(x)在区间（0,+∞）内是增函数. ?
k是偶数时，f(x)=x2-2lnx,f′(x)=2x-
,x∈(1,+∞)时，f′(x)＞0,x∈(0,1)时，f′(x)＜0.
∴k是偶数时，f(x)在区间（1，+∞）内是增函数，f(x) 在区间（0，1）内是减函数.?
（2）k是偶数时，f′(x)=2x-
,∵f′(an)=
,
∴2an-
=
.?
化简得2an2=an+12-1,2(an2+1)2=an+12+1, ?
∴{an2+1}是以2为首项，公比q=2的等比数列，?
∴an2+1=2×2n-1=2n.∴an＞0(n∈N*).?
∴an=
. ?
（3）k是奇数时，f′(x)=2x+
,x＞0,x∈N*.?
［f′(x)］n-2n-1·f′(xn)=(2x+
)n-2n-1(2xn+
)?
=2n·［(x+
)n-(xn+
)］?
=2n(C1nxn-2+C2nxn-4+…+Cn-2n·
+Cn-1n·
). ?
令S=C1nxn-2+C2nxn-4+…+Cn-2n·
+Cn-1n·
.
则2S=C1n（xn-2+
）+C2n(xn-4+
)+…+Cn-1n(xn-2+
)
≥
=2·2n-4，?
∴S≥2n-2.
∴［f′(n)］n-2n-1·f′(xn)≥2n(2n-2)(n∈N*).
