Question

设一元二次方程a_nx²－a_n＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3

(1)试用a_n表示a_n＋1；

(2)求证：数列{a_n－}是等比数列；

(3)当a₁＝时，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

(1)∵一元二次方程a_nx²－a_n＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，

∴由根与系数的关系易得α＋β＝，αβ＝，

∵6α－2αβ＋6β＝3，∴－＝3，

即a_n＋1＝a_n＋.

(2)∵a_n＋1＝a_n＋，∴a_n＋1－＝(a_n－)，

当a_n－≠0时，＝，

当a_n－＝0，即a_n＝时，

此时一元二次方程为x²－x＋1＝0，

即2x²－2x＋3＝0，Δ＝4－24＜0

∴不合题意，即数列{a_n－}是等比数列.

(3)由(2)知：数列{a_n－}是以a₁－＝－＝为首项，公比为的等比数列，

∴a_n－＝×()^n－1＝()ⁿ，

即a_n＝()ⁿ＋，

∴数列{a_n}的通项公式是a_n＝()ⁿ＋.