Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF：FC=3：1．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在满足（2）的情况下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证明PA⊥BC，我们根据已知中PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，易得∠PAC=∠PAB=90°，即PA⊥底面ABC，然后根据线面垂直的定义即可得到结论．
（2）由已知易得ED∥AB，若平面ABG∥平面DEF，仅需AG∥EF（或BG∥DF）即可，由平行线分线段成比例定理，我们易求出满足条件的G点；
（3）要求二面角G-AB-C的平面角的正切值，关键是要找出求二面角G-AB-C的平面角，然后构造三角形，解三角形即可得到结论．

解答：解：（1）在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴PA²+AC²=PC²，∴PA⊥AC；
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得PA⊥AB
∵AC∩AB=A，∴PA⊥平面ABC
∵BC?平面ABC，∴PA⊥BC．

（2）如图所示取PC的中点G，
连接AG，BG，∵PF：FC=3：1，∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，
∴面ABG∥面DEF．
即PC上的中点G为所求的点．

（3）由（2）知G这PC的中点，连接GE，
∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连接GH，则GH⊥AB，
∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角．
∵S△ABE=

1

2

S△ABC=

5 39

8

又S△ABE=

1

2

AB•EH
∴EH=

2S△ABE

AB

=

5 39 4

4

=

5 39

16

又GE=

1

2

PA=

3

2

∴tan∠EHG=

EG

EH

=

3

2

×

16

5 39

=

8 39

65

∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为

8 39

65

．

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．