Question

9．向量$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²α）和向量$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），λ，m α为实数，若向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，则$\frac{λ}{m}$的取值范围是[-6，1]．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$和条件建立方程关系，消去参数m后分离出λ，结合三角函数的有界性、二次函数的性质，转化为一元二次不等式组，求出λ的范围，再利用分离常数法化简$\frac{λ}{m}$，由λ的范围求出$\frac{λ}{m}$的范围．

解答 解：由题意得，$\overrightarrow{a}$=（λ+2，λ²-cos²α）、$\overrightarrow{b}$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），且$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{b}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{（λ+2）=2m①}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}α=2（\frac{m}{2}+sinα）②}\end{array}\right.$，
由①得，m=$\frac{λ+2}{2}$，代入②化简得，λ²-cos²α=$\frac{λ+2}{2}$+2sinα，
则${λ}^{2}-\frac{λ}{2}$=1+cos²α+2sinα=-sin²α+2sinα+2
=-sin²α+2sinα-1+3=-（sinα-1）²+3，
∵-1≤sinα≤1，∴-（sinα-1）²+3∈[-1，3]，
则-1≤${λ}^{2}-\frac{λ}{2}$≤3，解得$-\frac{3}{2}≤λ≤2$，
由m=$\frac{λ+2}{2}$得，m∈$[\frac{1}{4}，2]$，且$\frac{1}{m}$=$\frac{2}{λ+2}$，
∴$\frac{λ}{m}$=$\frac{2λ}{λ+2}$=$\frac{2（λ+2）-4}{λ+2}$=2-$\frac{4}{λ+2}$，
∵λ+2∈[$\frac{1}{2}$，4]，∴$\frac{4}{λ+2}$∈[1，8]，则-$\frac{4}{λ+2}$∈[-8，-1]，
所以$\frac{λ}{m}$∈[-6，1]，
故答案为：[-6，1]．

点评 本题考查平面向量的应用，三角函数的化简，分离常数法，以及一元二次不等式的求解，综合性较强，运算量较大．