题目内容

已知：函数f（x）=2cos²x+asinxcosx，f $数学公式$ =0．
（Ι）求实数a；
（ΙΙ）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（III）若函数f（x）的图象按向量m= $数学公式$ 平移后，得到一个函数g（x）的图象，求g（x）的解析式．

解：（Ι）由题意，f $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ +a× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =0，∴a=-2 $\text{[math]}$ ．
（ΙΙ）函数f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）- $\text{[math]}$ sin2x=2cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，
故最小正周期T= $\text{[math]}$ ．
令 2kπ-π≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ- $\text{[math]}$ ，k∈z．
故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ- $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点
P′（x′，y′）按向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-1）平移后所得，则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
代入 y′=2cos（2x′+ $\text{[math]}$ ）+1中可得：y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．
分析：（Ι）直接利用条件 f $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ +a× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =0，解方程求出a的值．
（ΙΙ）根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2cos（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，令 2kπ-π≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ，k∈z，求出x的范围，即可得到函数的增区间．
（ΙII）在函数g（x）的图象上任取一点P（x，y），设该点是由函数f（x）图象上的点P′（x′，y′）按向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，-1）平移后所得，得到这两个点的坐标间的关系，代入y′=2cos（2x′+ $\text{[math]}$ ）+1中可得 g（x）解析式．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，以及函数y=Asin（ωx+∅）的性质应用，属于中档题．