题目内容

在数列{a_n}中， $数学公式$ ， $数学公式$ ，令 $数学公式$ ，且数列{b_n}的前n项和记作T_n，则T_n的取值范围是________．

[ $\text{[math]}$ ）
分析：由 $\text{[math]}$ 可判断数列{ $\text{[math]}$ }为等差数列，从而可求得 $\text{[math]}$ ，进而得到a_n，b_n，利用裂项相消法可求得T_n，根据数列的单调性即可求得T_n的取值范围．
解答：由 $\text{[math]}$ ，知数列{ $\text{[math]}$ }为等差数列，首项为1，公差为 $\text{[math]}$ =2-1=1，
所以 $\text{[math]}$ =1+（n-1）•1=n，则a_n= $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）+…+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ，
因为-（ $\text{[math]}$ ）≤- $\text{[math]}$ ＜0，
所以 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ T_n＜ $\text{[math]}$ ．
故答案为：[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项、等差数列的通项公式及裂项相消法求和等知识，考查学生逻辑推理能力，属中档题．