Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）证明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，因为函数在x=x₁和x=x₂取得极值得到：x₁，x₂是导函数等于0的两个根．表示出导函数，因为x＜x₁函数为增函数，得到导函数大于0，根据不等式取解集的方法即可得到a的范围；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到导函数在x=0、2时大于0，导函数在x=1时小于0，得到如图所示的三角形ABC，求出三个顶点的坐标即可得到相应的z值，得到z的取值范围即可．

解答：解：求出函数f（x）的导函数f'（x）=ax²-2bx+2-b．
（1）由函数f（x）在x=x₁处取得极大值，
在x=x₂处取得极小值，知x₁，x₂是f'（x）=0的两个根．
所以f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
当x＜x₁时，f（x）为增函数，f'（x）＞0，
由x-x₁＜0，x-x₂＜0，得a＞0．
（2）在题设下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等价于

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2-b＞0 a-2b+2-b＜0 4a-4b+2-b＞0

，
化简得

2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

．
此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A(

4

7

，

6

7

)，B(2，2)，C(4，2)．
z在这三点的值依次为

16

7

，6，8．
所以z的取值范围为(

16

7

，8)．

点评：本题考查学生会利用导数研究函数的极值，会利用数形结合法进行简单的线性规划．在解题时学生应注意利用数形结合的数学思想解决问题．