Question

已知二次函数f（x）=x²+2（p-2）x+p，若在区间[0，1]内至少存在一个实根c，使f（c）＞0，则实根p的取值范围是

1. A.
   （1，4）
2. B.
   （1，+∞）
3. C.
   （0，+∞）
4. D.
   （0，1）

Answer 1

C
分析：由于二次函数f（x）=x²+2（p-2）x+p的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=x²+2（p-2）x+p在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为对于区间[0，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（0），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围．
解答：二次函数f（x）在区间[0，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：
对于区间[-1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，
∴
即
解得p≤0，
∴二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数c，
使f（c）＞0的实数p的取值范围是 （0，+∞）
故选C．
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[0，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，是解答本题的关键．