Question

9、已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-1）=-2时，f（2009）的值为（　　）

A、-4

B、0

C、-2

D、2

Answer 1

分析：由条件可得f（x）=f（4-x），再根据f（x）是奇函数可得f（-x）=f（4+x）=-f（x），进而求得f（x）=f（8+x），根据f（2009）=f（251×8+1 ）=f（1）=-f（-1），求出结果．

解答：解：定义在R上的函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），
故函数f（x）的图象关于直线x=2 对称，∴f（x）=f（4-x）．
故f（-x）=f（4+x）=-f（x），∴f（x）=-f（4+x）=f（8+x），
故f（ x）是周期等于8的周期函数．  f（2009）=f（251×8+1 ）=f（1）=-f（-1）=2，
故选D．

点评：本题考查函数的周期性，奇偶性的应用，求函数的值的方法，求出f（x）=f（8+x），是解题的难点和关键．