Question

如图，设由抛物线C：x²=4y与过它的焦点F的直线l所围成封闭曲面图形的面积为S（阴影部分）．
（1）设直线l与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直线l的斜率为k，试用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由抛物线C的方程可得焦点的坐标，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而可设直线l的方程，与抛物线联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而根据求得x₂-x₁．
（2）根据化简整理得，令，进而根据t的范围求得S的范围，得到最小值．
解答：解：（1）可得点F（0，1），
设直线l的方程为y=kx+1直线l与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得x²-4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，又x₁＜x₂，
∴．
（2）所求的面积：
=
=
=
=
令，则t≥1，有k²=t²-1，
S==
在[1，+∞）上为单调递增函数，∴当t=1，即k=0时，S有最小值．
点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．常需要把直线方程和抛物线方程联立，根据韦达定理解决问题．