Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，记函数的两个极值点为，（其中），求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

（2）.

【解析】

（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，注意题中函数定义域是，因此对二次三项式分类情况为第一类：或，第二类且．

（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用表示极值点，由是方程的解，得，..不妨设，引入变量，则，就转化为的函数，由求得的范围，由导数知识可得所求最大值．

（1）.

令，则.

①当或，即时，得恒成立，

∴在上单调递增.

②当，即时，

由，得或；

由，得.

∴函数在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.

则，为的两根，

∴，.

.

令，

则.

由，得，

即，解得.

∵，

∴在上单调递减，

∴.

即的最大值为.