Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，整理得，进而得是公差为1的等差数列；求出S_n的表达式，再利用已知前n项和求通项公式的方法即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的结论得，再把其放缩到，代入所求即可证明结论．
解答：解：（Ⅰ）由（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1，得，
∴是公差为1的等差数列，
∴，S_n=（2n-1）（S₁+n-1）①
又∵{a_n}等差数列，∴a₁+a₃=2a₂，即a₁+（S₃-S₂）=2（S₂-S₁）．
由①得a₁+[5（a₁+2）-3（a₁+1）]=2[3（a₁+1）-a₁]，
解得a₁=1，代入①得S_n=2n²-n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
上式对n=1也适用，∴a_n=4n-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=，
∴
=，故原不等式成立．
点评：本题主要考查数列递推式以及数列与不等式的综合问题．解决第二问的关键在于把，放缩到．